Задача 1. Якою може бути максимальна кількість місяців в році, таких що одна і та ж фаза Місяця протягом кожного з цих місяців повторюється по два рази? Які це місяці? (3 бали)

Розв'язок 1. Очевидно, що фази Місяця не можуть повторюватися в лютому – його тривалість навіть у високосні роки менша, ніж найменше можливе значення синодичного місяця. Всі останні місяці в календарі, навпаки, завжди довші за синодичний місяць, тому в кожному з цих місяців можуть існувати фази Місяця, що повторюються по два рази. Це буде для 1 числа місяця і 1+29,5=30 числа місяця, або для 2 і 31. Якщо це буде січень, то завдяки, тому, що в лютому 28 або 29 днів, такої фази в лютому не буде. (для високосного року обов’язково випадок для січня 2 і 31 число) і така ж фаза повториться у березні 1 і 30 числа, або 2 і 31 (для невисокосного року у випадку для січня 2 і 31 число). Тобто одна і та ж фаза по два рази повториться в двох календарних місяцях: січні і березні. Інших таких місяців бути не може. Причому такі випадки реалізуються в кожному році, звичайно для різних фаз Місяця.